ベクトル の 微分。 ベクトル解析の基本 発散 勾配 回転

【ベクトル解析】勾配 ∇f(x,y) の意味(gradient)をわかりやすい平面で学ぶ

ベクトル の 微分

すなわち, いつ, どこに, どんな状態で存在していて, 今後どうなるのか, を知ることである. ここでは, 物体の運動の様子を表す最も単純かつ基本的な物理量としての 位置, 速度および 加速度について議論する. 位置や 速度がどのような物理量なのかは比較的理解しやすいが, 加速度はなかなかイメージしにくい人もいるようである. しかし, なんということはなく, 位置と速度の関係と 速度と加速度の関係の数学的構造が全く同じであることを示す. なので, 位置と速度の関係をよく理解してもらったあとで, そのアナロジーを用いて加速度の議論を行うことにする. これらを語るにあたっては, 微分・積分という数学の言葉を借りるわけだが, その数式が表す意味は日常と乖離したものではない. むしろ, 微分・積分という数学を知っている人からすると, 位置・速度・加速度を微分・積分をもちいて語ることこそが自然に感じられるであろう. まずは下準備として, ベクトルの表記法や導関数について簡単に議論するが, これらを理解している人は読み飛ばしてもらって構わない. この表記法は物理分野で一般的に用いられており, 世の理工学書などではこの表記法が多く見受けられるので今のうちから慣れておくとよい. このページで扱う太字アルファベットの書き方の例を下に示しておく. 太字のアルファベットを実際に書くときにはアルファベットの一部を二重線にすることで表現することがもっぱらである. 下準備 : 微分係数と導関数 詳しくはも参照していただきたいが, 微分係数および 導関数と呼ばれるものについて簡単に議論しておく. 表現の違いにとらわれず, その意味を明確に理解するよう努めていただきたい. ここではこの第2次導関数の性質については踏み込まないが, このような関数を定義できることを知っておいて頂きたい. 1次元運動の速度 平均の速度というのは, 二つの時刻と位置を指定することで定まる量であった. しかしながら, その二点以外の情報は捨て去ってしまっているのである. これでは, 物体の運動を常に追いかけて調べようとしている我々の立場としてはやや不満足であろう. 3次元運動の速度 これまでに1次元方向の変位や速度について議論してきた. 加速度 後に分かるように, ニュートンが見つけた運動の法則 運動の3法則 において本質的な役割を担う物理量の一つが 加速度である. 加速度とは速度の変化具合を表す量であり, 位置と速度と 速度と加速度の数学的な構造は全く同じものとなっている. 1次元運動の加速度 速度のときと同じく, 瞬間の加速度あるいは単に 加速度と呼ばれるものを考えよう. 3次元運動の加速度 加速度についても, 1次元での議論をそのまま3次元に拡張することができる. この 加速度 ベクトル は, 時々刻々と変化する 速度 ベクトル の変化を表すものである. したがって, ある瞬間の加速度を知ることは, その瞬間の前後で速度の向き・大きさの変化がどのようになっているのかを知ることに等しい. 時間微分の表記 これまでの議論においてもそうであるように, 物理の学習を進めていくと物理量を時間で微分する機会が頻繁にある. 各記法毎に利点があるので両方を理解した上で, 状況に応じて使い分けてくれればよい. なお, 当サイトでは主にライプニッツの記法で時間微分を書き表すことにする. 物理量の諸関係式を単に公式で与えずに, 数学的な構造まで明確にして記述する利点はこのようなところにある. 物理ではじめて出くわす概念は様々あるが, 同じ数学的構造を持つ別の 理解しやすい 関係式と結びつけることで理解のハードルを下げてくれる. この視点が十分に養われれば, 高校物理で取り扱われる話題では またこの数学的構造か. という感想を何度も持つことになるであろう. 実際, 歴史的には位置・速度・加速度などを議論するために考え出された数学が微分・積分なのである. 当サイトではあまり歴史的な経緯は考慮せずに議論する. ある 一点における傾きとは何か, ということが気になる人は大変に鋭い. しかし, ここでは非常に小さい幅の間での傾きという素直な解釈で十分であり, このような操作の妥当性が担保された関数について考えることにしよう.

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「ベクトルで微分・行列で微分」公式まとめ

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すなわち, いつ, どこに, どんな状態で存在していて, 今後どうなるのか, を知ることである. ここでは, 物体の運動の様子を表す最も単純かつ基本的な物理量としての 位置, 速度および 加速度について議論する. 位置や 速度がどのような物理量なのかは比較的理解しやすいが, 加速度はなかなかイメージしにくい人もいるようである. しかし, なんということはなく, 位置と速度の関係と 速度と加速度の関係の数学的構造が全く同じであることを示す. なので, 位置と速度の関係をよく理解してもらったあとで, そのアナロジーを用いて加速度の議論を行うことにする. これらを語るにあたっては, 微分・積分という数学の言葉を借りるわけだが, その数式が表す意味は日常と乖離したものではない. むしろ, 微分・積分という数学を知っている人からすると, 位置・速度・加速度を微分・積分をもちいて語ることこそが自然に感じられるであろう. まずは下準備として, ベクトルの表記法や導関数について簡単に議論するが, これらを理解している人は読み飛ばしてもらって構わない. この表記法は物理分野で一般的に用いられており, 世の理工学書などではこの表記法が多く見受けられるので今のうちから慣れておくとよい. このページで扱う太字アルファベットの書き方の例を下に示しておく. 太字のアルファベットを実際に書くときにはアルファベットの一部を二重線にすることで表現することがもっぱらである. 下準備 : 微分係数と導関数 詳しくはも参照していただきたいが, 微分係数および 導関数と呼ばれるものについて簡単に議論しておく. 表現の違いにとらわれず, その意味を明確に理解するよう努めていただきたい. ここではこの第2次導関数の性質については踏み込まないが, このような関数を定義できることを知っておいて頂きたい. 1次元運動の速度 平均の速度というのは, 二つの時刻と位置を指定することで定まる量であった. しかしながら, その二点以外の情報は捨て去ってしまっているのである. これでは, 物体の運動を常に追いかけて調べようとしている我々の立場としてはやや不満足であろう. 3次元運動の速度 これまでに1次元方向の変位や速度について議論してきた. 加速度 後に分かるように, ニュートンが見つけた運動の法則 運動の3法則 において本質的な役割を担う物理量の一つが 加速度である. 加速度とは速度の変化具合を表す量であり, 位置と速度と 速度と加速度の数学的な構造は全く同じものとなっている. 1次元運動の加速度 速度のときと同じく, 瞬間の加速度あるいは単に 加速度と呼ばれるものを考えよう. 3次元運動の加速度 加速度についても, 1次元での議論をそのまま3次元に拡張することができる. この 加速度 ベクトル は, 時々刻々と変化する 速度 ベクトル の変化を表すものである. したがって, ある瞬間の加速度を知ることは, その瞬間の前後で速度の向き・大きさの変化がどのようになっているのかを知ることに等しい. 時間微分の表記 これまでの議論においてもそうであるように, 物理の学習を進めていくと物理量を時間で微分する機会が頻繁にある. 各記法毎に利点があるので両方を理解した上で, 状況に応じて使い分けてくれればよい. なお, 当サイトでは主にライプニッツの記法で時間微分を書き表すことにする. 物理量の諸関係式を単に公式で与えずに, 数学的な構造まで明確にして記述する利点はこのようなところにある. 物理ではじめて出くわす概念は様々あるが, 同じ数学的構造を持つ別の 理解しやすい 関係式と結びつけることで理解のハードルを下げてくれる. この視点が十分に養われれば, 高校物理で取り扱われる話題では またこの数学的構造か. という感想を何度も持つことになるであろう. 実際, 歴史的には位置・速度・加速度などを議論するために考え出された数学が微分・積分なのである. 当サイトではあまり歴史的な経緯は考慮せずに議論する. ある 一点における傾きとは何か, ということが気になる人は大変に鋭い. しかし, ここでは非常に小さい幅の間での傾きという素直な解釈で十分であり, このような操作の妥当性が担保された関数について考えることにしよう.

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空間曲線の単位接線ベクトル

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記号の定義 以下の記号で統一的に定義しておく。 ベクトルは原則として列ベクトル表示を標準とする。 1 2 3 4 5 6 ベクトル・行列をスカラーで微分 これらは素直にベクトル・行列の要素を微分すればよい。 7 8 スカラーをベクトルで微分 スカラーを のベクトルで微分すると、同じ次数のベクトルになる。 9 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 10 スカラーを行列で微分 スカラーを の行列で微分すると、同じ次元・次数の行列になる。 11 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 12 ベクトルをベクトルで微分 この場合、微分する変数側を行ベクトルとするか、微分される関数側を行ベクトルとするか2通りの表現があるが、ここでは変数側を行ベクトルとする。 13 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 14 公式 一般形 単位行列 ベクトルを同じベクトルで微分すると、単位ベクトルではなく単位行列になる。 15 合成関数 スカラーの合成関数と似ているが、イメージと積の順番が逆で、この順番は変えられない。 16 これは以下のように確認できる。 17 積の微分 行列の積のスカラーによる微分 18 これは素直に次のように確認できる。 23 [証明] 24 25 投稿ナビゲーション.

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